Feladatok

• Minden feladatot külön notebookba oldj meg!
• A megoldásnotebook neve tartalmazza a feladat számát!
• A megoldások kerüljenek a MEGOLDASOK mappába!
  Csak azok a feladatok kerülnek elbírálásra, amelyek a MEGOLDASOK mappában vannak!
• A megoldás tartalmazza a megoldandó feladat szövegét a megoldásnotebook első markdown cellájában!
• Kommentekkel, illetve markdown cellákkal magyarázd, hogy éppen mit csinál az adott kódrészlet!
  Magyarázat nélkül beküldött feladatok csak fél feladatnak számítanak!
• Figyelem: a megoldásokat az egyszerűség kedvéért most NE kezdjétek a megszokott %pylab inline paranccsal!

---

01-Harmadfokú egyenlet

Határozzuk meg az általános harmadfokú egyenlet $$ ax^3+bx^2+cx+d=0 $$ megoldásait zárt alakban!

02-Kétismeretlenes egyenletrendszer

A következő feladatsorban szükségünk lesz a legáltalánosabb kétismeretlenes lineáris egyenletrenszer megoldására. Oldjuk meg hát sympy-al az alábbi egyenletrendszert! $$a_{11} x_1 +a_{12} x_2 = b_1$$ $$a_{21} x_1 +a_{22} x_2 = b_2$$

03-Hasáb a lejtőn

Vizsgáljuk egy lejtőre helyeztt hasáb mozgásegyenleteit a sympy csomag segítségével. Legyen a hasáb tömege $M$, jelöljük a test lejtő menti gyorsulását $a$-val, a tartóerőt $F_t$-vel. Tételezzük fel, hogy a test és a lejtő között csúszási súrlódás lép fel, melyet a $\mu$ együttható jellemez. Jelöljük a súrlódási erőt $F_s$-el. A lejtő vízszintessel bezárt szöge legyen $\alpha$. Ha $0$ kezdősebességgel elengedjük a hasábot, akkor $t$ idő múlva mekkora utat fog megtenni? Határozzuk meg $a$-t,$F_s$-et, illetve $F_t$-t is! A megoldandó egyenletrendszer tehát:

\begin{align} Mg\sin(\alpha)-F_s&=Ma \\ Mg\cos(\alpha)-F_t&=0 \\ F_s&=\mu F_t \\ s&=\frac{a}{2}t^2 \end{align}

A megoldáshoz használjuk a sympy csomag solve függvényét!

04-Rugalmas ütközés ☠

Oldjuk meg a képen vázolt rugalmas ütközési problémát a sympy csomag segítségével! Azaz két $2m$ és $m$ tömegű test kezdetben egymás felé száguld $v$ sebességgel. Lássuk be, hogy miután rugalmas ütközést szenvedtek, a sebességeik $v/3$ illetve $v5/3$ lesznek. Emlékeztetésképp a rugalmas ütközés során a lendület és a kinetikus energia megmarad! $$ I=\sum_i m_i v_i = const.$$ $$E_{kin}=\sum_i\frac{1}{2} m_i v_i^2 =const.$$

05-Maxwell -- Boltzmann

Vizsgáljuk a termodinamikából ismert Maxwell -- Boltztmann-sebességeloszlást !

$$f(v)=\sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{v^2 e^{-v^2/(2a^2)}}{a^3}$$

Határozzuk meg sympy függvények segítségével a következő mennyiségeket:

• Az átlagos sebesség: $\displaystyle\int_0^\infty vf(v) \mathrm{d}v$
• A tipikus sebesség: $\sqrt{\displaystyle\int_0^\infty v^2f(v) \mathrm{d}v}$
• A legvalószínűbb $v^*$ sebesség (ahol az eloszlásnak maximuma van): $\partial_v f(v)|_{v=v^*}=0$ ☠

06-Taylor-sorok ☠

Határozzuk meg az alábbi függvények Taylor-sorát a megadott rendig a megadott pont körül!

• $f(x)=\sin(x^2)+cos(x),\,x=\pi/3 $ körül harmadrendig
• $g(t)=\exp(-(x-3)^2)\sin(x),\,x=0$ körül negyedrendig

07-Differenciálegyenletek ☠

Határozzuk meg az $$f''(x) + 9 f(x) = 1$$ másodrendű differenciál egyenlet általános megoldását!