{
"cells": [
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"# Feladatok\n",
"\n",
"- Minden feladatot külön notebookba oldj meg! \n",
"- A megoldásnotebook **neve** tartalmazza a feladat **számát**! \n",
"- A megoldások kerüljenek a **MEGOLDASOK mappába**!
Csak azok a feladatok kerülnek elbírálásra, amelyek a MEGOLDASOK mappában vannak!\n",
"- A megoldás tartalmazza a megoldandó **feladat szövegét** a megoldásnotebook első `markdown` cellájában! \n",
"- **Kommentekkel**, illetve `markdown` cellákkal magyarázd, hogy éppen mit csinál az adott kódrészlet!
Magyarázat nélkül beküldött feladatok csak fél feladatnak számítanak!\n",
"- **Figyelem**: a megoldásokat az egyszerűség kedvéért most **NE** kezdjétek a megszokott `%pylab inline` paranccsal!\n",
"---"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"## 01-Harmadfokú egyenlet\n",
"\n",
"Határozzuk meg az általános harmadfokú egyenlet $$ ax^3+bx^2+cx+d=0 $$ megoldásait zárt alakban! "
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"## 02-Kétismeretlenes egyenletrendszer\n",
"\n",
"A következő feladatsorban szükségünk lesz a legáltalánosabb kétismeretlenes lineáris egyenletrenszer megoldására. Oldjuk meg hát sympy-al az alábbi egyenletrendszert!\n",
"$$a_{11} x_1 +a_{12} x_2 = b_1$$\n",
"$$a_{21} x_1 +a_{22} x_2 = b_2$$"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"## 03-Hasáb a lejtőn\n",
"![](https://www2.southeastern.edu/Academics/Faculty/rallain/plab193/page1/page21/files/page21_3.jpg)\n",
"\n",
"\n",
"Vizsgáljuk egy lejtőre helyeztt hasáb mozgásegyenleteit a `sympy` csomag segítségével. Legyen a hasáb tömege $M$, jelöljük a test lejtő menti gyorsulását $a$-val, a tartóerőt $F_t$-vel. Tételezzük fel, hogy a test és a lejtő között csúszási súrlódás lép fel, melyet a $\\mu$ együttható jellemez. Jelöljük a súrlódási erőt $F_s$-el. A lejtő vízszintessel bezárt szöge legyen $\\alpha$. Ha $0$ kezdősebességgel elengedjük a hasábot, akkor $t$ idő múlva mekkora utat fog megtenni? Határozzuk meg $a$-t,$F_s$-et, illetve $F_t$-t is!\n",
"A megoldandó egyenletrendszer tehát: \n",
"\n",
"\n",
"\\begin{align}\n",
"Mg\\sin(\\alpha)-F_s&=Ma \\\\\n",
"Mg\\cos(\\alpha)-F_t&=0 \\\\\n",
"F_s&=\\mu F_t \\\\\n",
"s&=\\frac{a}{2}t^2 \n",
"\\end{align}\n",
"\n",
"A megoldáshoz használjuk a sympy csomag `solve` függvényét!"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"## 04-Rugalmas ütközés ☠\n",
"\n",
"![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e5/Elastischer_sto%C3%9F3.gif)\n",
"\n",
"Oldjuk meg a képen vázolt rugalmas ütközési problémát a `sympy` csomag segítségével! Azaz két $2m$ és $m$ tömegű test kezdetben egymás felé száguld $v$ sebességgel. Lássuk be, hogy miután rugalmas ütközést szenvedtek, a sebességeik $v/3$ illetve $v5/3$ lesznek. Emlékeztetésképp a rugalmas ütközés során a lendület és a kinetikus energia megmarad! \n",
"$$ I=\\sum_i m_i v_i = const.$$\n",
"$$E_{kin}=\\sum_i\\frac{1}{2} m_i v_i^2 =const.$$"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"## 05-Maxwell -- Boltzmann\n",
"\n",
"Vizsgáljuk a termodinamikából ismert [Maxwell -- Boltztmann-sebességeloszlást](https://hu.wikipedia.org/wiki/Maxwell%E2%80%93Boltzmann-eloszl%C3%A1s#A_sebess.C3.A9g_eloszl.C3.A1s) !\n",
"\n",
"$$f(v)=\\sqrt{\\frac{2}{\\pi}} \\frac{v^2 e^{-v^2/(2a^2)}}{a^3}$$ \n",
"\n",
"Határozzuk meg `sympy` függvények segítségével a következő mennyiségeket:\n",
"\n",
"- Az átlagos sebesség: $\\displaystyle\\int_0^\\infty vf(v) \\mathrm{d}v$\n",
"- A tipikus sebesség: $\\sqrt{\\displaystyle\\int_0^\\infty v^2f(v) \\mathrm{d}v}$\n",
"- A legvalószínűbb $v^*$ sebesség (ahol az eloszlásnak maximuma van): $\\partial_v f(v)|_{v=v^*}=0$ ☠\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"## 06-Taylor-sorok ☠\n",
"\n",
"Határozzuk meg az alábbi függvények Taylor-sorát a megadott rendig a megadott pont körül!\n",
"\n",
"- $f(x)=\\sin(x^2)+cos(x),\\,x=\\pi/3 $ körül harmadrendig\n",
"- $g(t)=\\exp(-(x-3)^2)\\sin(x),\\,x=0$ körül negyedrendig"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"## 07-Differenciálegyenletek ☠\n",
"\n",
"Határozzuk meg az $$f''(x) + 9 f(x) = 1$$ másodrendű differenciál egyenlet általános megoldását!"
]
}
],
"metadata": {
"anaconda-cloud": {},
"hide_input": false,
"kernelspec": {
"display_name": "Python [default]",
"language": "python",
"name": "python3"
},
"language_info": {
"codemirror_mode": {
"name": "ipython",
"version": 3
},
"file_extension": ".py",
"mimetype": "text/x-python",
"name": "python",
"nbconvert_exporter": "python",
"pygments_lexer": "ipython3",
"version": "3.5.2"
},
"name": "feladat04.ipynb"
},
"nbformat": 4,
"nbformat_minor": 0
}