Feladatok¶

Minden feladatot a feladatszámnak megfelelő számú megoldásnotebookban oldj meg. Azaz az első feladatot az 1_feladat.html notebookban.
A halálfejes (☠) feladatokhoz hozz létre a kötelező feladatokhoz hasonlóan egy új notebookot a MEGOLDÁSOK könyvtárban.
Csak azok a feladatok kerülnek elbírálásra, amelyek a MEGOLDASOK mappában vannak!
A megoldás tartalmazza a megoldandó feladat szövegét a megoldásnotebook első markdown cellájában!
Kommentekkel, illetve markdown cellákkal magyarázd, hogy éppen mit csinál az adott kódrészlet!
Magyarázat nélkül a beküldött feladatok csak fél feladatnak számítanak!
Az elkészített ábrák minden esetben rendelkezzenek ábrafeliratokkal (cím, tengelyfeliratok és $-$ amennyiben indokolt $-$ jelmagyarázat)! Amennyiben a beadott ábrákon nincsenek feliratok, az adott feladat automatikusan csak fél feladatnak számít!

01 - Egyszerű integrálás¶

A quad függvény segítségével integráljuk a $$ f(x)=\cos^2(4 \arccos(x)) $$ függvényt az [0,1] intervallumon!

02 - Kettős integrálok¶

Határozzuk meg az $$y=\pi^2/4-(x-\pi/2)^2)$$ és $$y=-sin(3x))$$ görbék által határolt tartomány területét.
Integráljuk az fenti tartományon az $$f(y,x)=e^{-(x-\pi/2)^2-(y-\pi/2)^2} $$ függvényt.
Ábrázoljuk az integrálási tartományt, illetve az integrálandó $f(y,x)$ függvényt egy ábrán!

03 - Rakétamozgás¶

Egy adott időpillanatban legyen a rakétánk $m$ tömegű, tegyük fel, hogy $v$ sebességgel halad. A rakéta hátulján egy kis, $\Delta m$ tömegű darabka a rakétához képest $v_e$, az álló megfigyelőhöz képest $v-v_e$ sebességgel távozik. A lendületmegmaradás miatt az álló megfigyelő szemszögéből:

$$ (m + \Delta m)\cdot v = m (v+\Delta v)+\Delta m\cdot (v-v_e) ,$$

tehát

$$ 0 = m \Delta v - \Delta m \cdot v_e $$

Rendezzük át:

$$\frac{\Delta v}{\Delta m}=-\frac{v_e}{m}$$

Tartsunk $\Delta m$-mel a 0-hoz:

$$\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} m}=-\frac{v_e}{m},$$

Ábrázoljuk a rakéta sebességét a rakéta tömegének függvényében! Vegyük a rakéta össztömegét 1-nek, és tételezzük fel, hogy az össztömeg 90%-a üzemanyag, tehát maximum 0.1-ig tud a tömeg csökkenni. Legyen $v_e=10$! Értelmezzük a kapott eredményt, vessük össze az analitikus megoldással (a diffegyenlet szétválasztható)!

04 - Ferde hajítás¶

Vizsgáljuk meg, hogy a $v_0=30~\mathrm{m}/\mathrm{s}$-os kezdősebességű, $\alpha=50^\circ$-os szögű ferde hajítás differenciálegyenlet-rendszerének megoldása ugyanazt a pályát adja-e, mint az analitikus megoldás! Ábrázoljuk a numerikus és az egzakt megoldást ugyanazon koordinátarendszerben!

Segítségül:

\begin{align} \ddot{x}&=0&\dot{x}_0&=v_0\cdot \cos\alpha &x_0&=0\\ \ddot{y}&=-g& \dot{y}_0&=v_0\cdot \sin\alpha & y_0&=0 \end{align}

05 - Kepler-probléma¶

A bolygómozgás potenciálja a következőképpen néz ki:

$$V(x,y)= -\gamma M \frac{m}{\sqrt{x^2+y^2}}$$

Legyen most az alternatív naprendszerünkben $M=\gamma=m=1$!

Rajzoljuk fel a bolygó pályáját a sebességekre és helyekre vonatkozó egyenletek numerikus megoldásának segítségével:

\begin{align} m\dot{v_x}&=-\frac{\partial{V}}{\partial{x}} & v_{x,0}&=0\\\\ m\dot{v_y}&=-\frac{\partial{V}}{\partial{y}} & v_{y,0}&=\frac{1}{\sqrt{10}}\\ \dot{x}&=v_x & x_0&=4\\ \dot{y}&=v_y & y_0&=0\\ \end{align}

Milyen alakú pályát kaptunk?

☠ 06 - Töltött részecske elektromágneses térben¶

Adott egy egymásra merőleges homogén elektromos és mágneses tér, a térerősségek

\begin{align} E&=0.01~\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{C}}\\ B&=1~T \end{align}

Egy $e=1\mathrm{C}$ töltésű részecskét lövünk ebbe a térbe az elektromos erővonalakkal párhuzamosan, a mágneses térre merőlegesen. Rajzoljuk ki a differenciálegyenlet-megoldás segítségével, hogy a 3D térben milyen pályán mozog a részecske (egy jó választás pl. $t=0~\mathrm{s}$-tól $10~\mathrm{s}$-ig elmenni)! Ha matplotlibbel ábrázolsz, figyelj arra, hogy olyan szögből legyen a 3D ábra, hogy jól látszódjon a pálya alakja, plotlyval pedig akár forgathatod is az elkészült ábrát. Magyarázzuk meg a látottakat néhány mondatban!

\begin{align} m\ddot{x}&=eE & \dot{x}_0&=0 & x_0&=0\\ m\ddot{y}&=ev_zB & \dot{y}_0&=1 & y_0&=0\\ m\ddot{z}&=-ev_yB & \dot{z}_0&=1 & z_0&=0\\ \end{align}

☠ 07 - Bomlási sorok¶

Egy egyszerű radioaktív bomlás differenciálegyenlete a következőképpen néz ki:

$$-\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}=\lambda N,$$

ahol $N$ az adott elem atommagjainak a száma, $\lambda$ pedig a bomlási állandó, ami egy atommag átlagos várható élettartamának a reciproka. (Felezési idővel is kifejezhetjük, ekkor $\lambda=\ln 2 / T_{1/2}$.) A differenciálegyenlet tulajdonképpen annak a megfogalmazása, hogy a bomlások a magok előéletétől és egymástól függetlenül, ugyanakkora valószínűséggel következnek be.

Vizsgáljunk egy egyszerű bomlási sort, melyben egy anyaelem ($1$), illetve az ő két további leányeleme ($2,3$) található! Hogyan változik ezek darabszáma az idő függvényében? Ábrázoljuk, értelmezzük néhány mondatban a kapott eredményt!

Egyrészt az anyaelem száma folyamatosan csökken, másrészt a leányelemelet "táplálja" az anyaelem bomlása, mikörózben ők is tovább bomolnak:

\begin{align} \frac{\mathrm{d}N_1}{\mathrm{d}t}&=-\lambda_1 N_1\\ \frac{\mathrm{d}N_2}{\mathrm{d}t}&=\lambda_1 N_1-\lambda_2 N_2\\ \frac{\mathrm{d}N_3}{\mathrm{d}t}&=\lambda_2 N_2 - \lambda_3 N_3\\ \end{align}

Legyen a három bomlási állandó és a kezdeti feltételek: \begin{align} \lambda_1&=0.5~\frac{1}{\mathrm{s}} & N_1(0)&=10^5\\ \lambda_2&=0.3~\frac{1}{\mathrm{s}} & N_2(0)&=10^4\\ \lambda_3&=2~\frac{1}{\mathrm{s}} & N_3(0)&=10^4\\ \end{align}

☠ 08 - Ferde hajítás légellenállással¶

Számoljuk ki és ábrázoljuk, hogyan módosul a test pályája a parabolához képest, ha a ferde hajítás problémájába egy sebességnégyzettel arányos, a sebességgel éppen ellentétes irányú közegellenállási tagot is beleveszünk!

☠ 09 - Animált naprendszer¶

Készíts szép animációt, amely nagyjából valós adatokkal és arányokkal megmutatja, hogyan kering a Föld a Nap körül! Próbálj meg akár két bolygót is a Nap köré tenni, teljesülni fog-e a keringési időkre vonatkozó Kepler-törvény?

☠ 10 - Riccati¶

Vizsgáljuk a $$ \frac{dy(x)}{dt}+(1+x)y(x)=y(x)^2+x, $$ talán ismerősnek tűnő Riccati-féle differenciálegyenletet!

Készítsünk egy interaktív ábrát, mely ábrázolja a fenti egyenlet megoldását $y(x_0)=x_0$ kezdőfeltétellel az $x \in [-10,10]$ intervallumon! Az ábra változtatható paramétere legyen $x_0$ ! Diszklutáljuk a Differenciálegyenletek órán szerzett tapasztalatok és a numerikus megoldás alapján a vizsgált egyenlet érdekfeszítő tulajdonságait!