Feladatok

  • Minden feladatot a feladatszámnak megfelelő számú megoldásnotebookban oldj meg. Azaz az első feladatot az 1_feladat.html notebookban.
  • A halálfejes (☠) feladatokhoz hozz létre a kötelező feladatokhoz hasonlóan egy új notebookot a MEGOLDÁSOK könyvtárban.
  • Csak azok a feladatok kerülnek elbírálásra, amelyek a MEGOLDASOK mappában vannak!
  • A megoldás tartalmazza a megoldandó feladat szövegét a megoldásnotebook első markdown cellájában!
  • Kommentekkel, illetve markdown cellákkal magyarázd, hogy éppen mit csinál az adott kódrészlet!
  • Magyarázat nélkül a beküldött feladatok csak fél feladatnak számítanak!
  • Az elkészített ábrák minden esetben rendelkezzenek ábrafeliratokkal (cím, tengelyfeliratok és − amennyiben indokolt − jelmagyarázat)!

Amennyiben a beadott ábrákon nincsenek feliratok, az adott feladat automatikusan csak fél feladatnak számít! Figyelem: a megoldásokat az egyszerűség kedvéért most NE kezdjétek a megszokott %pylab inline paranccsal! Helyette elég a %matplotlib inline parancs.

01-Harmadfokú egyenlet

Solve - I.

Határozzuk meg az általános harmadfokú egyenlet $$ ax^3+bx^2+cx+d=0 $$ megoldásait zárt alakban a sympy csomag segítségével!

02-Hasáb a lejtőn

Solve - II.

Vizsgáljuk egy lejtőre helyezett hasáb mozgásegyenleteit a sympy csomag segítségével. Legyen a hasáb tömege $M$, jelöljük a test lejtő menti gyorsulását $a$-val, a tartóerőt $F_t$-vel. Tételezzük fel, hogy a test és a lejtő között csúszási súrlódás lép fel, melyet a $\mu$ együttható jellemez. Jelöljük a súrlódási erőt $F_s$-el. A lejtő vízszintessel bezárt szöge legyen $\alpha$. Ha $0$ kezdősebességgel elengedjük a hasábot, akkor $t$ idő múlva mekkora utat fog megtenni? Határozzuk meg $a$-t,$F_s$-et, illetve $F_t$-t is! A megoldandó egyenletrendszer tehát:

\begin{align} Mg\sin(\alpha)-F_s&=Ma \\ Mg\cos(\alpha)-F_t&=0 \\ F_s&=\mu F_t \\ s&=\frac{a}{2}t^2 \end{align}

A megoldáshoz használjuk a sympy csomag solve függvényét!

03-Ez bonyolult

Egyszerűsítés

Hozd az alábbi kifejezést egyszerűbb alakra:

$$ x^{2} + \frac{x}{4} e^{2 i x} - \frac{x}{2} \cos{\left (2 x \right )} + \frac{x}{4} e^{- 2 i x} + \frac{1}{4} e^{2 i x} - \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} - 1 + \frac{1}{4} e^{- 2 i x} $$

04-Ez meg nem szimmetrikus

Lineáris algebra - I.

Lássuk be a sympy segítségével, hogy minden 3x3-as antiszimmetrikus mátrix rendelkezik egy zérus sajátértékkel!

05-Maxwell$-$Boltzmann

Analízis - I.

Vizsgáljuk a termodinamikából ismert Maxwell$-$Boltzmann-sebességeloszlást !

$$f(v)=\sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{v^2 e^{-v^2/(2a^2)}}{a^3}$$

Határozzuk meg sympy függvények segítségével a következő mennyiségeket:

  • Az átlagos sebesség: $\displaystyle\int_0^\infty vf(v) \mathrm{d}v$
  • A tipikus sebesség: $\sqrt{\displaystyle\int_0^\infty v^2f(v) \mathrm{d}v}$
  • A legvalószínűbb $v^*$ sebesség (ahol az eloszlásnak maximuma van): $\partial_v f(v)|_{v=v^*}=0$

Figyelem: a probléma természetéből fakadóan mind a v mind pedig az a változók csak valós értékeket vehetnek fel.

☠ 06-Taylor-sorok

Analízis - II.

Határozzuk meg az alábbi függvények Taylor-sorát a megadott rendig a megadott pont körül!

  • $f(x)=\sin(x^2)+cos(x),\,x=\pi/3 $ körül harmadrendig
  • $g(x)=\exp(-(x-3)^2)\sin(x),\,x=0$ körül negyedrendig

☠ 07-Differenciálegyenletek

Közönséges differenciálegyenlet (ode)

Határozzuk meg az $$f''(x) + 9 f(x) = 1$$ másodrendű differenciálegyenlet általános megoldását!

☠ 08 - Konvolúció

Analízis - III

Lássuk be a sympy segítségével a következő azonosságot!

$$ \int_{-\infty}^\infty \frac{\mathrm{e}^{-x^2}}{(x-y)^2+1}\mathrm{dx}=\Re \left(\mathrm{e}^{-(\mathrm{i} + y)^2} \pi\,\mathrm{erfc}(1 - \mathrm{i} y)\right) $$

Ahol $\Re$ a valósrész-képzést jelenti, továbbá $\mathrm{erfc}(x)$ a komplementer hibafüggvény.

☠ 09- két atomos lánc

Lineáris algebra - III.

Határozzuk meg az ábrán vázolt végtelen kétatomos egydimenziós lánc rezgési módusait, azaz a fonon diszperziós relációját analitikusan sympy segítségével! Alkalmazzuk a Matrix osztályt!

☠ 10-Viviani-görbe

Felületszámítás

Számítsuk ki a sympy segítségével, hogy mekkora felületet metsz ki Viviani görbéje a gömbből!