☠-es feladatsor 02

  • A megoldás tartalmazza a megoldandó feladat szövegét a megoldásnotebook első markdown cellájában!
  • Kommentekkel, illetve markdown cellákkal magyarázd, hogy éppen mit csinál az adott kódrészlet!
  • Magyarázat nélkül a beküldött feladatok csak fél feladatnak számítanak!
  • Az elkészített ábrák minden esetben rendelkezzenek ábrafeliratokkal (cím, tengelyfeliratok és − amennyiben indokolt − jelmagyarázat)! Amennyiben a beadott ábrákon nincsenek feliratok, az adott feladat automatikusan csak fél feladatnak számít!
  • A beadott notebookok Kernel -> Restart&Run All hatására a beadott formát reprodukálják!

☠ 02/01. feladat

Vizsgáljuk a Kepler probléma numerikus megoldásának stabilitását, Descartes és polár koordinátákban! Egy $M$ tömegű test körül keringő $m$ tömegű részecske mozgását leíró egyenlet $$-\frac{G mM}{r^2}\mathbf{e}_r=m\mathbf{a}$$, komponensekre kiírva Descartes-féle koordináta rendszerben a: \begin{align} \dot{v}_{x} & =-\frac{GMx}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3/2}}\\ \dot{v}_{y} & =-\frac{GMy}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3/2}}\\ \dot{x} & =v_{x}\\ \dot{y} & =v_{y} \end{align} polár koordináta rendszerben pedig az alábbi alakot ölti:

\begin{align} \dot{v}_{r} & =rv_{\varphi}^{2}-\frac{GM}{r^{2}}\\ \dot{v}_{\varphi} & =-\frac{2v_{r}v_{\varphi}}{r}\\ \dot{r} & =v_{r}\\ \dot{\varphi} & =v_{\varphi} \end{align}

Oldjuk meg mind két differenciál egyenlet rendszert numerikusan ugyan azokkal a kezdőfeltételekkel és ábrázoljuk a két módszerrrel meghatározott részecske pályát egy ábrán! Ügyeljünk arra hogy a két görbe stílusban jól elkülönüljön!

Válasszuk a szereplő konstansokat mind 1-nek, azaz $G=M=m=1$ ! Legyen a kezdőfeltétel \begin{align} x_0 & = 1.0\\ y_0 & = 0.0\\ v_{x0}& = 0.5\\ v_{y0}& = 0.5 \end{align}

Az $t$ idő válltozót a $[0,100]$ intervallumban 10000 mintavételezd!

Descartes-koordináták ban megadott kezdőfeltételek (azaz az $x_0, y_0, v_{x0}, v_{y0}$ ) ismeretében a polárkoordináts leírás kezdőfeltételei az alábbi kifejezések segítségével határozhatóak meg:

\begin{align} v_{r0} & =\frac{x_{0}v_{x0}+y_{0}v_{y0}}{\sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}}\\ v_{\varphi0} & =\frac{-y_{0}v_{x0}+x_{0}v_{y0}}{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}\\ r_{0}&=\sqrt{x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}\\ \varphi_{0}&=\arctan\left(\frac{y_{0}}{x_{0}}\right) \end{align}

A rendszer teljes energiáját az alábbi összefüggések szerint kapjuk mind Descart, mind pedig polár koordináta rendszerben:

\begin{align} E & =\frac{1}{2}m\left(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}\right)-\frac{GMm}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\\ & =\frac{1}{2}m\left(v_{r}^{2}+r^{2}v_{\varphi}^{2}\right)-\frac{GMm}{r} \end{align}

Készíts egy ábrát amelyen az idő függvényében ábrázolod a $|E(0)-E(t)|$ kifejezést mind két módszer esetére! Legyen a függőleges tengely logaritmikusan skálázva!

Saját szavaiddal fogalmazd meg, hogy a kapott eredmények tükrében melyik módszer mondható pontosabbnak az adott kezdőfeltételek mellett!

☠ 02/02. feladat

Kössünk össze képzeletben rugókkal $N$ db $m_1$ és $N$ db $m_2$ tömegű tömegpontot egy egyenes mentén láncban, felváltva $k_1$ és $k_2$ direkciós erejű rugókkal a képen vázoltak szerint (A szaggatott vonallal jelölt egység a rendszer egy elemi cellája). Figyelem a szélső tömegpontokat mind a két oldalon $k_2$ direkciós erejű rugó rögzíti a falhoz.

Vizsgáljuk a rendszer hosszirányú rezgéseit !

Jelölje $x_{n,1/2}, n=0\ldots N$ a kék/piros tömegpontok egyensúlytól való kitérését! Némi algebrával a tömeg pontok mozgásegyenletei az alábbi egyenlet rendszer

$$ m_1\ddot{x}_{n,1}=k_1(x_{n,2}-x_{n,1})+k_2(x_{n-1,2}-x_{n,1}) $$$$ m_2\ddot{x}_{n,2}=k_1(x_{n,1}-x_{n,2})+k_2(x_{n+1,1}-x_{n,2}) $$

Írjuk át az egyenletrendszert az $x$ vektorra vonatkozó $m \ddot x = A\cdot x$ alakba, és keressük a megoldást $a\cdot e^{i\omega t}$ alakban!

Ebből összefüggést kapunk a körfrekvenciák és a sajátértékek közt.

  • Határozzuk meg a rezgési sajátfrekvenciákat és a saját módusokat!
  • Készítsünk egy interaktív ábrát mely segítségével adott paraméter értékeknél a spektrumot és egy kiszemelt rezgési módust jelenítjük meg!

Milyen kvalitatív különbségeket veszünk észre a spektrumban az alábbi négy paramétertartományban:

  • A tömegek egyenlőek és $ k_1 < k_2 $
  • A tömegek egyenlőek és $ k_1 > k_2 $
  • A rugók megeggyeznek és $ m_1 < m_2 $
  • A rugók megeggyeznek és $ m_1 > m_2 $

☠ 02/03. feladat

A Google-keresés áttörő sikerét a PageRank-algoritmus indította el, melynek természetesen mára már a titkos és sokat finomított verzióját tartalmazza a keresőmotor. Az első PageRank-változat azonban egy nagyon szép és intuitív képre vezethető vissza, melynek segítségével végső soron a leghasznosabb honlapok megkeresése is a következő mátrix sajátérték-problémára egyszerűsödik:

$$\mathbf{V}=\mathbf{L}\mathbf{M^{-1}},$$

ahol

  • $n$ a csúcsok száma,
  • $\mathbf{L}$ az ún. összekötöttségi mátrix, azaz
    • $L_{ij}=1$, ha $i$ és $j$ között van él, és
    • $L_{ij}=0$, ha $i$ és $j$ között nincs él.
  • $\mathbf{M}$ pedig az az $n\times n$-es mátrix, melynek főátlójában a csúcsok fokszáma áll $$M_{ii}=\sum_{j=1}^n L_{ij}.$$

A $V$ mátrixnak az 1 sajátértékű sajátvektorában szereplő számok lesznek a PageRankek.

A Google által 2002-ben közzétett, az internet hálózatát feltérképező adatokból fájl első 10000 sorából készítsük el az M mátrixot, dobjuk ki a csak 0-kat tartalmazó sorokat, és az ehhez tartozó oszlopokat is. Ezek után állapítsuk meg V-ből, melyik a 10 legnagyobb PageRankkel rendelkező oldal! Elegendő a mátrix átszámozás utáni sorindexeivel megadni a honlapokat.

A feladat megoldása során felmerülő nagy mátrixot a scipy modul ritka mátrixokért felelős függvényeivel dolgozzuk fel!

☠ 02/04. feladat

Határozzuk meg, hogy két egymás utáni forgatás, mégpedig x tengely körüli $\alpha$ szögű, és y tengely körüli $\beta$ szögű, milyen egyetlen forgatással helyettesíthető; azaz mi az $$R_y(\beta)R_x(\alpha)$$ szorzat forgatási tengelyének iránya, és mennyi a forgatás szöge!

Segítségül: egy 3D forgatásmátrix 3 sajátértékkel és sajátvektorral rendelkezik. Mivel a forgatás a tengely pontjait nem módosítja, az egyik sajátvektor a tengely iránya, és az ehhez tartozó sajátérték 1. Másik két sajátérték pedig $e^{\pm i \gamma}$, ahol $\gamma$ a forgatás szöge.

Speciálisan az $x$, $y$ és $z$ tengely körüli forgatások mátrixai pedig a következő alakot öltik: $$ R_x(\alpha)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\alpha & -\sin\alpha \\ 0 & \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}, \quad R_y(\alpha)=\begin{pmatrix} \cos\alpha & 0 & \sin\alpha \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin\alpha & 0 & \cos\alpha \end{pmatrix}, \quad R_z(\alpha)=\begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha & 0 \\ \sin\alpha & \cos\alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. $$

  • Írjunk függvényeket, amik a forgatásmátrixokat létrehozzák!
  • Készítsünk egy függvényt, ami meghatározza a forgástengelyt és a forgatási szöget!
  • Ábrázoljuk $\alpha$ és $\beta$ függvényében az eredő forgatás szögét!

☠ 02/05. feladat

Írjunk egy osztályt amelyik egy egydimenziós részecske időfüggetlen Schrödinger-egyenletét $$\left [ -\frac{\hbar}{2m}\frac{\partial^2 }{\partial x^2} +V(x)\right ]\psi(x)=E\psi(x) $$ oldja meg tetszőleges $V(x)$ külső potenciál jelenlétében. Az egyszerűség kedvéért használjuk a $\hbar=1$ és $m=1$ egységrendszert.

  • A második deriváltat 300 pontban diszkretizálva kezeljük a megoldandó differenciál egyenletet lineáris algebrai sajátérték problémaként!
  • Az osztály inicializálásakor a külső potenciál megadható függvény legyen!
  • Legyen egy osztály metódus ami megjeleníti az $N$-edik sajátfüggvényt egy képen!
  • Legyen egy osztály metódus ami a potenciált és az első 10 sajátértéket vizualizálja egy képen!

☠ 02/06. feladat

A Gegenbauer-polinomok az alábbi rekurziós reláció által definiált polinomok:

\begin{aligned}C_{0}^{\alpha }(x)&=1\\C_{1}^{\alpha }(x)&=2\alpha x\\C_{n}^{\alpha }(x)&={\frac {1}{n}}[2x(n+\alpha -1)C_{{n-1}}^{\alpha }(x)-(n+2\alpha -2)C_{{n-2}}^{\alpha }(x)].\end{aligned}
  • Hozz létre egy geg nevű függvényt, aminek három paramétere van: x, n és alpha. Kimeneti értéke pedig a fent definiált Gegenbauer-polinom $C_n^{(\alpha)}(x)$ értéke.
  • Hozz létre egy F nevű függvényt, aminek négy bemenő paramétere van: y, n, m és alpha. Kimeneti értéke pedig az alább definiált integrál numerikusan kiértékelve: $$F^{(\alpha)}_{n,m}(y)=\int _{{-1}}^{y}C_{n}^{{(\alpha )}}(x)C_{m}^{{(\alpha )}}(x)\left (1-x^{2}\right )^{{\alpha -{\frac {1}{2}}}}\,dx$$
  • A numerikus integrál elvégzéséhez használd a scipy csomag quad függvényét!
  • Készíts két ábrát, amelyen a fent definiált F kiértékelését ábrázolod y függvényében az $y\in[-1,1]$ intervallumon.
  • Az első ábrán három görbe szerepeljen, $F_{1,1}^{(1)}(y)$,$F_{1,2}^{(1)}(y)$ valamint $F_{1,3}^{(1)}(y)$.
  • Az második ábrán is három görbe szerepeljen, $F_{2,1}^{(2)}(y)$,$F_{2,2}^{(2)}(y)$ valamint $F_{2,3}^{(2)}(y)$.
  • A saját szavaiddal diszkutáld az ábrák alapján, hogy $F_{n,m}^{(\alpha)}(1)$ értéke milyen $n$ és $m$ esetén különbözik nullától!

☠ 02/07. feladat

Oldjuk meg egy $q=1$ töltéssel és $m=1$ tömeggel rendelkező részecske mozgásegyenletét amely egy $Q$ töltéssel töltött fix pont töltés és egy konstans $z$ irányú $B$ erősségű mágneses tér együttes terében mozog. A megoldandó mozgásegyenlet tehát $$ m\ddot{\boldsymbol{r}}=\frac{qQ}{|\boldsymbol{r}|^{2}}\boldsymbol{e}_{r}+q\left(\dot{\boldsymbol{r}}\times B\boldsymbol{e}_{z}\right) $$ ahol $\boldsymbol{e}_{r}$ egy sugár irányú egység vektor $\boldsymbol{e}_{z}$ pedig egy $z$ irányú egységvektor: $$ \boldsymbol{e}_{r}=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\left(\begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array}\right),\quad\boldsymbol{e}_{z}=\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1 \end{array}\right) $$ A részecske kezdő pozíciója és sebessége legyen

$$ \boldsymbol{r}(t=0)=\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0 \end{array}\right),\quad \dot{\boldsymbol{r}}(t=0)=\left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0 \end{array}\right) $$

Készítsünk 3D ábrát a részecske pályájáról kölönböző $Q$ és $B$ értékekre!

☠ 02/08. feladat

Határozd meg az alábbi diffegyenletrendszer megoldásait különböző kezdőfeltételekre az idő függvényében:

$$ \frac{\mathrm{d}x(t)}{\mathrm{d}t} =(y(t)-4)(y(t)-2)-x(t) $$$$ \frac{\mathrm{d}y(t)}{\mathrm{d}t} =-x(t)y(t) $$

Ábrázold a megoldások trajektóriáit az $xy$ síkon. Hol vannak a fixpontok és milyen típusúak?

☠ 02/09. feladat

Űrszondák pályamódosításának egyik fajtája az aerobreaking. Oldjuk meg numerikusan egy gömb alakú űrszonda pályaegyenleteit a Föld körül. A légkör hatására a szonda $v$ sebességével elentétes irányú és $F_s=C v^2 \varrho(r)$ nagyságú erő hat ahol $\varrho(r)$ a légkör sűrűsége a bolygó középpontjától mért $r$ távolságban $C$-t pedig az egyszerűség kedvéért válasszuk 1-nek. A $\varrho(r)$ sűrűséget a barometrikus magasságformula segítségével határozzuk meg.

☠ 02/10. feladat

Írjunk egy osztályt amelyik egy egydimenziós diffúziós egyenletet oldja meg $$ \frac{\partial }{\partial t} \psi(x,t)= D \frac{\partial^2 }{\partial x^2} \psi(x,t) $$ tetszőleges $\psi(x,0)$ kezdő feltételre.

  • A második deriváltat 300 pontban diszkretizálva kezeljük a megoldandó problémát egy vektor változó közönséges differenciálegyenleteként!
  • Az osztály inicializálásakor a kezdő feltétel és $D$ megadása kötelező legyen!
  • Legyen egy osztály metódus ami megjeleníti egy adott időpontban a $\psi$ függvényt!